Финслеровы геометрии, гиперкомплексные числа и физика
ГЛАВНАЯ | О САЙТЕ | ЖУРНАЛ | СТАТЬИ | ПОЛИЧИСЛА | ВСЕ СЕКЦИИ | ФОРУМ | ВХОД    
СЕКЦИИ
Новости
Все статьи
Журнал
Поличисла
Архив
Книги
Финслерова премия
Премии и конкурсы
Институт
Муром, FERT-2016
Муром, FERT-2015
Брашов FERT-2014
Дебречен FERT-2013
Роджер Пенроуз - 2013
Москва, FERT-2012
Брашов FERT-2011
Москва FERT-2010
Москва FERT-2009
Каир FERT-2008
Москва FERT-2007
Каир FERT-2006
Школа-семинар "Лес.Озеро"
Конференции
Семинары
Фильмы
Презентации
Фото
Пирамиды
Программы
Черновики
ПОИСК
Журнал
Премии и конкурсы

Условия Второго конкурса на лучшую исследовательскую работу по теме «Ассоциативно-коммутативные гиперкомплексные числа и их приложения
25.10.2004

Подводя итоги прошедшего конкурса, можно с удовлетворением констатировать, что предложенная тема нашла свою заинтересованную аудиторию. Хочется выразить искреннюю благодарность всем, кто принял участие в конкурсе или проявил интерес к его содержанию. И хотя число участников было сравнительно невелико, в результате стало ясно, что, с одной стороны, проблема актуальна и требует своего дальнейшего развития, а с другой стороны, - нуждается в большей конкретизации.

Представленные на конкурс работы касались самых разных аспектов теории гиперкомплексных чисел. При этом следует отметить, что ни одна из них не решила основной поставленной задачи - ярко и убедительно продемонстрировать право ассоциативно-коммутативных гиперкомплексных чисел занимать своё значимое место в математике наравне с действительными и комплексными. В связи с этим конкурсной комиссией было принято решение первой премии в 2002 году не присуждать, а оставшуюся нераспределенной часть призового фонда добавить к фонду, выделяемому для проведения следующего конкурса на аналогичную тему.

Вторая премия была присуждена исследованиям, которые, по мнению членов конкурсной комиссии, лучше соответствовали объявленным год назад условиям конкурса. Однако это не означает, что работы оставшиеся без вознаграждения, не содержали интересных идей, - и авторы могут реализовать их на Втором Конкурсе.

Настоящим объявляется о начале Второго Конкурса исследовательских работ на тему ассоциативно-коммутативных гиперкомплексных чисел и их приложений, а так же об образовании премиального фонда в размере 500.000 (Пятисот тысяч) рублей.

Условия Конкурса:

1. Учредителем Конкурса является Павлов Дмитрий Геннадиевич, председатель Совета директоров Группы предприятий "Антарес".
2. На конкурс принимаются работы, посвященные одной из трёх тем, перечисленных ниже. По решению учредителя, количество тем в ходе конкурса может быть увеличено.
3. Для участия в конкурсе работа должна быть изложена на русском языке и прислана до 30 ноября 2003 года электронной почтой: contact@antares.com.ru или обычной почтой в отпечатанном виде по адресу: 105082, г. Москва, ул. Большая Почтовая, д. 26 В, строение 2, ОАО "МОЗЭТ", Павлову Дмитрию Геннадиевичу.
4. В случае появления нескольких работ разных авторов, примерно равнозначно раскрывающих одну и ту же тему, приоритет отдаётся той, которая прислана раньше.
5. Присланные работы считаются принятыми на конкурс, если их авторы получат приглашение выступить с докладом на одном из семинаров, проводимых в рамках проведения конкурса. Авторы принятых на конкурс работ не обязательно будут признаны победителями.
6. Информационные носители авторам не возвращаются.
7. По истечении срока приёма работ, но до окончания 2003 года состоится семинар, посвященный подведению итогов конкурса, на котором будут приняты решения о победителях.
8. Учредитель и члены конкурсной комиссии оставляют за собой право вносить изменения по организационным и финансовым вопросам.
9. Премии будут вручены авторам работ, признанных лучшими, непосредственно по окончании итогового семинара.

Тема 1

На примере чисел Н4 предложить правила построения функций, обобщающих понятие аналитической функции гиперкомплексного переменного.

Пояснения.
Аналитические функции от поличисел (т. е. коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел), как и в случае комплексных чисел, характеризуются независимостью производной от направления. Такие функции удовлетворяют ряду дифференциальных уравнений в частных производных, которые иногда называют обобщенными условиями Коши-Римана. Так для чисел Н4=a'1+i·a'2+j·a'3+k·a'4 эти условия имеют вид:
где a'i-компоненты числа Н4 в единичном базисе 1,i,j,k, а U,V,W,Q- взаимно сопряженные скалярные функции, которые в случае выполнения условий образуют аналитическую функцию:
F(Н4)=U+i·V+j·W+k·Q.
У аналитических функций комплексного переменного есть интересная геометрическая интерпретация, заключающаяся в том, что связанные с ними преобразования не изменяют углов между произвольными линиями или, другими словами, соответствующие отображения сохраняют подобие бесконечно малых фигур. Такие отображения носят название конформных. В поличисловых пространствах каждой аналитической функции также может быть сопоставлено некоторое конформное преобразование, сохраняющее углы между линиями.
Однако, хотя каждой аналитической функции соответствует определенное конформное отображение, представляется вероятным, что не каждому конформному отображению соответствует аналитическая функция. Такие отображения, если они существуют в Н4 и в других поличисловых пространствах, представляют самостоятельный интерес. Кроме того, в полилинейных пространствах с размерностью метрической формы три и выше, помимо длин векторов и углов между ними появляются качественно иные параметры, отвечающие за конгруэнтность и подобие фигур, образованных тремя и более векторами. Задача заключается в том, чтобы на примере пространства Н4 корректно и полно перечислить такие параметры, найти вид отображений их сохраняющих и проанализировать связанные с этими отображениями особенности.
Не исключено, что в процессе исследований могут появиться и другие идеи, позволяющие совершенно иначе решить вопрос обобщения понятия аналитической функции.

Тема 2

На примере чисел Н4 и связанного с ними полипространства предложить алгоритм построения трехмерных фрактальных объектов и реализовать данный алгоритм методами компьютерной графики, используя четвертую координату как параметр эволюции.

Пояснения.
Используя комплексные числа и евклидову плоскость можно простым и эффектным способом построить множества Мандельброта и Жюлиа, являющиеся типично фрактальными объектами. Красота и гармоничность структур этих фракталов завораживает, поэтому не удивительно, что математикам всегда хотелось найти способы построения аналогичных трёхмерных объектов. Наиболее часто такие попытки предпринимались с использованием кватернионов - четырехмерных гиперкомплексных чисел, обладающих некоммутативным умножением. При этом, чтобы связанные с кватернионами четырехмерные фракталы можно было изобразить на экране компьютера, их рассекают трехмерными гиперплоскостями, а поверхности получаемых таким образом фигур проецируют на плоскость. Изменяя ориентацию проекционной плоскости, добиваются трехмерности изображения, а переходя от одной гиперплоскости к другой, получают эффект эволюции фрактала во времени.
Однако даже при беглом знакомстве с возникающими при таком подходе изображениями, бросается в глаза их существенно меньшая гармоничность в сравнении с плоскими прототипами. Конечно, понятия красоты и гармонии довольно расплывчатые критерии для науки, однако любая теория всегда выигрывала, если могла похвастаться эстетическим совершенством. По-видимому, основная причина неказистости трёхмерных фракталов лежит в том, что кватернионы, при помощи которых они получаются, естественным образом связаны с четырехмерным евклидовым пространством, тогда как реальному пространству-времени (закономерности которого в нас и порождают представления о красоте) существенно ближе структура пространства Минковского. В этой связи, возможно, более красивые структуры можно было бы получить, рассматривая фракталы непосредственно в пространстве Минковского. Собственно, чтобы стимулировать исследования в этом направлении и задумывался данный грант. Однако в связи с тем, что у пространства Минковского не существует четырехмерного числового аналога предлагается сосредоточиться на одном из его альтернатив, а именно на пространстве, связанном с числами Н4.
Возможным эффективным приёмом в соответствующих построениях может оказаться тот факт, что если произвольное не изотропное направление в пространстве Н4 отождествить с собственным временем некой инерциальной системы отсчета, а понятие физического расстояния ввести, отождествляя его со временем потраченным сигналом на путь до мировой линии исследуемого объекта и обратно, то геометрия окружающего такую систему отсчета трёхмерного пространства, при некоторых ограничениях, оказывается весьма близкой к евклидовой. Таким упрощающим ограничением является условие, чтобы скорость сигналов, при помощи которых метризуется трёхмерное пространство, была бы много меньше предельно возможной. Последнюю, как и в специальной теории относительности, следует связывать с изотропными направлениями. Такое достаточно громоздкое построение оправдывается возможностью совместить геометрию абсолютно симметричного по всем его характерным направлениям пространства Н4, с привычными представлениями об окружающем нас физическом пространстве-времени, в котором одно направление является выделенным по отношению к трём другим.
Удастся ли претендентам на данный грант воспользоваться вышеприведенным приёмом, или ими будут предложены собственные методики, вплоть до использования пространств, связанных с отличными от Н4 поличислами, - непринципиально, главным критерием при выборе победителя будут красота полученных фрактальных изображений и естественность использования в построениях поличисловых пространств.

Тема 3

Исследовать особенности геометрий полилинейных финслеровых пространств.

Пояснение
Особенности геометрий полилинейных пространств (т. е. пространств, метрические свойства которых могут быть выражены через аксиомы полилинейной симметрической формы) изучены крайне мало. Возможно, это обстоятельство проистекает из-за отсутствия вплоть до последнего времени чёткого понимания, что геометрия целого класса финслеровых пространств самым непосредственным образом связана с гиперкомплексными числами и полилинейными формами. Оказалось, что для таких пространств аксиомы симметрической полилинейной формы от n векторов, или связанной с ней взаимно однозначным образом n-арной метрической формы, позволяют свести изучение геометрии соответствующего пространства к изучению математических объектов - чисел и форм. Подобная опора в исследованиях финслеровых пространств необходима, прежде всего, потому, что наша интуиция, воспитанная на евклидовых представлениях о пространстве, дает сбой каждый раз, как только предмет исследования оказывается несколько иной геометрической природы. Так происходило во времена завоевания псевдоевклидовыми пространствами права занимать в физике место наряду с евклидовыми. По-видимому, почти также обстоят дела и сейчас, когда решается аналогичный вопрос в отношении некоторых финслеровых пространств. В обоих этих случаях замена наглядности представлений и практического опыта на математические конструкции является наиболее надёжным способом познания геометрических истин. 13.01.03

Тема 4

Исследование фундаментальных физических структур, ассоциируемых с геометриями и функциями гиперкомплексного переменного.

Пояснение
Условия дифференцируемости функций комплексного переменного - условия Коши-Римана - по структуре похожи на дифференциальные уравнения свободных, т. е. невзаимодействующих физических полей. Их обобщения на алгебры больших размерностей, как коммутативно-ассоциативные, так и некоммутативные алгебры кватернионов и бикватернионов, неоднократно предлагалось интерпретировать в качестве первичных уравнений теории поля. Наиболее часто обобщения условий Коши-Римана имеют вид, близкий к линейным уравнениям Максвелла. При этом в некоторых подходах (см., например, обзор К. Н. Быстрова и В. Д. Захарова [1]) бикватернионная структура указывает на возможное существование дополнительных компонент у электромагнитного поля.
Однако обобщение условий дифференцируемости на некоммутативные алгебры кватернионного типа имеет, как правило, формальный характер, а получающиеся при этом функции не имеют свойств, характерных для аналитических функций комплексного переменного (в частности, производная этих функций зависит от направления, см. пояснения к теме 1). Поэтому какие-либо новые физические предсказания, сделанные на основе подобных обобщений, не представляются достоверными.
С другой стороны, в работах В. В. Кассандрова [2] показано, что явный учет некоммутативности в случае, например, алгебры бикватернионов приводит к нелинейности обобщенных уравнений Коши-Римана, что позволяет рассматривать их в качестве уравнений взаимодействующих физических полей. При этом обычные уравнения физики получаются как условия интегрируемости исходной (переопределенной) системы уравнений дифференцируемости. Переопределенность приводит также к определенным "правилам отбора" для решений физических уравнений, в том числе на электрический заряд источников ("алгебраическое квантование").
Интересно отметить, что аналогом уравнений Лапласа ТФКП в модели Кассандрова является уравнение (комплексифицированного) эйконала. Для одного из двух классов общего решения этого уравнения, полученного в [3], это уравнение выполняется одновременно с линейным волновым уравнением д' Аламбера. С другой стороны, по сути дела, к аналогичной системе уравнений приводит подход к анализу на коммутативной алгебре поличисел, предложенный в работе Г. И. Гарасько [4]. Этот факт лишний раз свидетельствует о глубоких связях, существующих между различными гиперкомплексными системами и, возможно, между соответствующими им физическими структурами.
Предполагается, что в рамках данной темы на конкурс будут представлены работы, в которых на основе уже развитых или новых обобщений комплексного анализа на поличисловые, некоммутативные и, возможно, даже неассоциативные гиперкомплексные структуры будет предложена интересная физическая интерпретация возникающих в гиперкомплексном анализе функций, отображений и отвечающих им геометрий. В первую очередь имеются в виду приложения к фундаментальной физике, а в качестве ассоциированных структур - физические поля и взаимодействия, элементарные частицы, а также геометрия самого пространства-времени. Что касается последней, то свойства гиперкомплексных числовых систем могли бы послужить обоснованием размерности, топологии и метрической структуры физического пространства-времени. Однако до сих пор глубокой связи между наблюдаемой реальностью и свойствами какой-либо гиперкомплексной системы не обнаружено, поэтому будут приветствоваться все нетривиальные исследования в данном направлении.

Хотелось бы, чтобы предлагаемые на конкурс работы были выполнены на высоком математическом уровне, с четким описанием геометрических истоков, делали акцент на принципиальных возможностях представления физических объектов с помощью гиперкомплексных числовых систем и, в то же время, не были перегружены большим количеством технических деталей.

1. Быстров К.Н., Захаров В.Д. // Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. Т.1. - ВИНИТИ, 1991, с. 111.
2. Кассандров В.В. // Математика и практика. Математика и наука. №2. - М., "Самообразование", 2000, с.61. (www.chronos.msu.ru/relectropublications.html);
3. Kassandrov V.V.// Gravitation & Cosmology (Moscow),V.8, Suppl.II,2002, p.57.
4. Гарасько Г.И. // www.hypercomplex.ru/worksforprise.html
22.04.2003


Rambler's Top100