О сайте.

Гиперкомплексные числа и финслерова геометрия

     Глубокая связь понятия Числа с самыми фундаментальными категориями физики мало у кого вызывает сомнения. Однако, как правило, эту связь ассоциируют только с такими частными представителями чисел, как действительные и комплексные; реже, но всё же достаточно часто к ним добавляют ещё кватернионы или октавы. Не отрицая фундаментальной роли этих чисел, организаторы сайта обращают внимание, что имеются и другие обобщения понятия числа, чья связь с геометрией и физикой ещё ждёт своего осмысления.
    Чтобы создать теорию относительности, Эйнштейну пришлось выйти за рамки классической геометрии Евклида, сменив ее на геометрию Римана. Можно предположить, что и будущее развитие физики потребует новой геометрии. Таковой может стать Финслерова геометрия, являющаяся более общей геометрией, чем геометрия Минковского. Принципиально важно, что точки Финслеровых пространств в ряде случаев могут выражаться гиперкомплексными числами, алгебрами с особыми, исключительными свойствами.
    На фоне бесконечного разнообразия и необъятной сложности финслеровых пространств поражает факт присутствия среди них редких исключений, восхищающих своей красотой и гармонией. Именно такие исключения непосредственно связаны с гиперкомплексными числами, причем зачастую, обладающими самыми обычными коммутативными и ассоциативными законами сложения и умножения. К сожалению, на сегодняшний день не существует теорем, которые бы перечислили все выделяющиеся таким образом финслеровы пространства. Отталкиваясь от идеи естественной связи геометрии с физикой, можно отметить алгебры кватернионов над полем комплексных чисел (бикватернионы), алгебры комплексных чисел над комплексными же (бикомплексные числа) и двойных над двойными (квадрачисла). Все эти пространства обладают мультипликативной нормой четвертого порядка (норма произведения равна произведению норм) и при этом в той или иной степени связаны с фундаментальной для физики группой Лоренца.
    Разнообразие инвариантов, естественных для финслеровых пространств, нередко выше, чем в случае квадратичных многообразий. Благодаря появлению новых инвариантов, во многих финслеровых пространствах с формой выше квадратичной метрически выделенными оказываются не только некоторые линейные, но и особые нелинейные преобразования. Аналогом подобных преобразований являются конформные отображения обычных евклидовых пространств, сохраняющие не расстояния, а углы. Богатство геометрических преобразований (как правило, нелинейных), сохраняющих такие инварианты, возрастает не только в количественном, но и в качественном плане.
    Связь с гиперкомплексными числами позволяет решить одну из важнейших проблем геометрии – естественным и простым образом обобщить понятие угла, введя вместо скалярного произведения, связанного с симметрической билинейной формой, симметрическую полилинейную форму от трех и более векторов. Такой подход показывает, что господствующая до последнего времени идея т. н. финслерова метрического тензора, введенного Картаном, оказывается не вполне эффективной и требует замены на метрический тензор более высокого ранга, чем два.